En finance, le modèle binomial d'options fournit une méthode numérique généralisable pour l'évaluation des options. Le modèle diffère des autres modèles de tarification des options, en ce qu'il utilise un modèle de prix variable selon le prix variable dans le temps des instruments financiers, le modèle étant ainsi capable de traiter une variété de conditions pour lesquelles d'autres modèles ne peuvent pas être appliqués. Essentiellement, l'évaluation des options se fait par l'application de l'hypothèse de neutralité du risque sur la durée de vie de l'option, à mesure que le prix de l'instrument sous-jacent évolue. Le modèle binomial a été proposé pour la première fois par Cox, Ross et Rubinstein (1979). Méthodologie Le modèle de tarification binomiale utilise un cadre de temps discret pour retracer l'évolution de la variable sous-jacente de clé d'options via un treillis binomial (arbre), pour un nombre donné d'étapes de temps entre la date d'évaluation et l'expiration de l'option. Chaque noeud dans le réseau, représente un prix possible du sous-jacent, à un moment particulier dans le temps. Cette évolution des prix constitue la base de l'évaluation des options. Le processus d'évaluation est itératif, en commençant à chaque noeud final, puis en reculant l'arbre jusqu'au premier noeud (date d'évaluation), où le résultat calculé est la valeur de l'option. L'évaluation des options à l'aide de cette méthode est, comme décrit, un processus en trois étapes: 1) génération d'arbres de prix 2) calcul de la valeur d'option à chaque noeud final 3) calcul progressif de la valeur d'option à chaque noeud précédent la valeur au premier noeud est la valeur De l'option. La méthodologie est mieux illustrée par l'exemple. 1) L'arbre des prix binomiaux L'arbre des prix est produit en travaillant de la date d'évaluation à l'expiration. A chaque étape, on suppose que l'instrument sous-jacent va se déplacer vers le haut ou vers le bas par un facteur spécifique - u ou d - par pas de l'arbre. (Le modèle binomial ne permet que deux états.) Si S est le prix courant, alors dans la prochaine période, le prix sera soit S up soit S down, où S up S x u et S down S x d. Les facteurs de montée et de descente sont calculés en utilisant la volatilité sous-jacente, le sigma et les années par pas de temps, t: u exp (sigma radic t) d exp (- sigma radic t) 1 u Ce qui précède est Cox, Ross, amp Rubinstein (CRR) il existe d'autres techniques pour générer le treillis, tel que l'arbre des probabilités égales. 2) Valeur d'option à chaque nœud final À chaque noeud final de l'arbre - c'est-à-dire à l'expiration de l'option - la valeur de l'option est simplement sa valeur intrinsèque ou d'exercice. Pour un appel: valeur Max (S ndash Prix d'exercice, 0) Pour une valeur put: value Max (prix d'exercice n, S, 0) 3) Valeur d'option aux nœuds antérieurs À chaque noeud précédent, la valeur de l'option est calculée en utilisant le risque Neutralité. Dans cette hypothèse, le prix juste d'aujourd'hui d'un titre dérivé est égal à la valeur escompte attendue de son rendement futur. Se reporter à la rubrique Évaluation du risque neutre. La valeur attendue ici est calculée en utilisant les valeurs des options des deux derniers noeuds (Option haut et Option bas) pondérées par leurs probabilités respectives - probabilité p d'un mouvement ascendant dans le sous-jacent, et probabilité (1-p) d'un mouvement vers le bas. La valeur attendue est alors actualisée à r. Le taux sans risque correspondant à la durée de vie de l'option. Ce résultat, la Valeur Binomiale, est donc le juste prix du dérivé à un moment particulier (c'est-à-dire à chaque noeud), étant donné l'évolution du prix du sous-jacent à ce point. La Valeur Binomiale est trouvée pour chaque nœud, en commençant à l'avant-dernière étape de temps, et revenant au premier nœud de l'arbre, la date d'évaluation, où le résultat calculé est la valeur de l'option. Pour une option américaine, l'option pouvant être détenue ou exercée avant l'échéance, la valeur de chaque noeud est: Max (valeur binomiale, valeur d'exercice). La valeur binomiale est calculée comme suit. Binomial Valeur p temps Option (1-p) temps Temps d'expiration des options exp (- r fois t) p exp ((rq) fois t) - d diviser u - dq est le rendement de dividende du sous-jacent correspondant à la durée de vie du option. Notez que l'approche d'évaluation alternative, arbitrage-free pricing (delta-hedging), donne des résultats identiques voir la tarification Rational. Relation avec Black-Scholes Des hypothèses semblables sous-tendent le modèle binomial et le modèle de Black-Scholes, et le modèle binomial fournit ainsi une approximation temporelle discrète du processus continu sous-jacent au modèle de Black-Scholes. En fait, pour les options européennes, la valeur du modèle binomial converge sur la valeur de formule Black-Scholes à mesure que le nombre d'étapes de temps augmente. Modèle de tarification des options binomiales Le modèle d'évaluation des options binomiales est une méthode d'évaluation des options développée dans 1979. Le modèle d'évaluation des options binomiales utilise une procédure itérative permettant de spécifier les noeuds ou les points dans le temps pendant la période comprise entre la date d'évaluation et la date d'expiration des options. Le modèle réduit les possibilités de changement de prix et supprime la possibilité d'arbitrage. Un exemple simplifié d'un arbre binomial pourrait ressembler à ceci: BREAKING DOWN Modèle de tarification d'option binomiale Le modèle de prix d'option binomial suppose un marché parfaitement efficace. Dans cette hypothèse, il est en mesure de fournir une évaluation mathématique d'une option à chaque point dans le délai spécifié. Le modèle binomial adopte une approche de l'évaluation neutre en termes de risque et suppose que les cours sous-jacents des titres ne peuvent qu'accroître ou diminuer avec le temps jusqu'à ce que l'option expire sans valeur. Exemple de tarification binomiale Un exemple simplifié d'un arbre binomial n'a qu'un seul pas de temps. Supposons qu'il ya un stock qui est au prix de 100 par action. Dans un mois, le prix de ce stock va augmenter de 10 ou baisser de 10, ce qui crée cette situation: Prix de Stock 100 Prix de Stock (état à la hausse) 110 Prix de Stock (bas état) 90 Ensuite, supposons qu'il existe une option d'appel disponible Sur ce stock qui expire dans un mois et a un prix d'exercice de 100. Dans l'état ascendant, cette option d'appel vaut 10, et à l'état bas, il vaut 0. Le modèle binomial peut calculer ce que le prix de l'appel Option devrait être aujourd'hui. À des fins de simplification, supposons qu'un investisseur achète une moitié de l'action et écrit, ou vend, une option d'achat. L'investissement total aujourd'hui est le prix de la moitié d'une action moins le prix de l'option, et les gains possibles à la fin du mois sont les suivants: Coût aujourd'hui 50 - prix de l'option Valeur du portefeuille (jusqu'à l'état) 55 - max (110 - 100, 0) 45 Valeur du portefeuille (état bas) 45 - max (90 - 100, 0) 45 Le rendement du portefeuille est égal quel que soit le mouvement du cours de l'action. Compte tenu de ce résultat, en supposant qu'il n'y ait aucune possibilité d'arbitrage, un investisseur devrait obtenir le taux sans risque au cours du mois. Le coût aujourd'hui doit être égal à la rémunération actualisée au taux sans risque pendant un mois. L'équation à résoudre est donc: Prix d'option 50 - 45 xe (taux sans risque x T), où e est la constante mathématique 2.7183 En supposant que le taux sans risque est de 3 par an et T égal à 0.0833 (un divisé par 12 ), Alors le prix de l'option d'achat est aujourd'hui de 5,11. En raison de sa structure simple et itérative, le modèle binomial d'évaluation des options présente certains avantages uniques. Par exemple, puisqu'il fournit un flux d'évaluations pour un dérivé pour chaque nœud dans un laps de temps, il est utile pour évaluer des dérivées telles que des options américaines. Il est également beaucoup plus simple que d'autres modèles de tarification tels que le modèle Black-Scholes.
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